Kübik Fonksiyonun Değerini Bulma: Adım Adım Çözüm

by Admin 50 views
Kübik Fonksiyonun Değerini Bulma: Detaylı Analiz

Selam millet! Bugün, matematik dünyasına dalıyor ve özellikle kübik fonksiyonlarla ilgili bir problem çözüyoruz. Sorun şu: f(x)=x3+3x2+3x−3f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x - 3 fonksiyonu verildiğinde, f(73−1)f(\sqrt[3]{7}-1) değerini bulmamız isteniyor. Hadi, bu matematiksel maceraya birlikte atılalım ve adım adım çözümleyelim!

Fonksiyonu Anlama ve İfadeyi Basitleştirme

İlk olarak, bize verilen fonksiyonu yakından inceleyelim. f(x)=x3+3x2+3x−3f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x - 3. Bu, kübik bir fonksiyon; yani, en yüksek dereceli terimi 3 olan bir polinom. Bizden istenen ise, bu fonksiyonda xx yerine 73−1\sqrt[3]{7}-1 koyduğumuzda ne elde edeceğimizi bulmak. Bu tür problemlerle başa çıkmanın en iyi yolu, ifadeyi basitleştirmeye çalışmaktır. Gördüğünüz gibi, xx yerine 73−1\sqrt[3]{7}-1 koymak biraz karmaşık olabilir, ancak sabırlı olun, işler sandığınızdan daha kolaylaşacak. Öncelikle, x=73−1x = \sqrt[3]{7}-1 olduğunu unutmayın.

Şimdi, bu ifadeyi kullanarak f(x)f(x) fonksiyonunu yeniden yazmaya çalışalım. Yani, xx gördüğümüz her yere 73−1\sqrt[3]{7}-1 yazacağız. Bu, başlangıçta biraz göz korkutucu görünebilir, ancak aslında sadece yerine koyma işlemidir. Dikkatli bir şekilde yaparsak, hatasız bir şekilde sonuca ulaşabiliriz. Unutmayın, matematiksel ifadeleri basitleştirmek, problemi çözmenin anahtarıdır. İfadeyi daha anlaşılır hale getirmek için adımları takip edelim. Bu tür sorular, matematiksel becerilerinizi geliştirmeniz için harika fırsatlardır. Pratik yapmak, bu tür problemleri çözme yeteneğinizi artıracaktır.

\begin{aligned} f(\sqrt[3]{7}-1) &= (\sqrt[3]{7}-1)^3 + 3(\sqrt[3]{7}-1)^2 + 3(\sqrt[3]{7}-1) - 3 \ \end{aligned}$

Bu aşamada, kübik ve kare terimleri açmak biraz zaman alacak, ancak sonuçta basitleştirmelerle daha kolay bir ifade elde edeceğiz. İfadeyi adım adım açarak ilerleyelim.

Kübik ve Kare İfadelerin Açılımı ve Basitleştirme

Şimdi, 73−1\sqrt[3]{7}-1 ifadesinin küpünü ve karesini açalım. Bu aşama, biraz cebir bilgisi gerektirir, ancak endişelenmeyin, adımları takip ederek kolayca yapabilirsiniz. (73−1)3(\sqrt[3]{7}-1)^3 ifadesini açarken, küp alma işleminin kurallarını kullanacağız. Aynı şekilde, (73−1)2(\sqrt[3]{7}-1)^2 ifadesini açarken de kare alma işleminin kurallarını kullanacağız. Bu açılımlar, başlangıçta biraz karmaşık görünse de, basitleştirmeler yaparak daha düzenli bir hale getirebiliriz. Unutmayın, amaç ifadenin en basit halini bulmaktır.

(73−1)3=(73)3−3(73)2(1)+3(73)(1)2−13=7−3493+373−1(73−1)2=(73)2−2(73)(1)+12=493−273+1\begin{aligned} (\sqrt[3]{7}-1)^3 &= (\sqrt[3]{7})^3 - 3(\sqrt[3]{7})^2(1) + 3(\sqrt[3]{7})(1)^2 - 1^3 \\ &= 7 - 3\sqrt[3]{49} + 3\sqrt[3]{7} - 1 \\ (\sqrt[3]{7}-1)^2 &= (\sqrt[3]{7})^2 - 2(\sqrt[3]{7})(1) + 1^2 \\ &= \sqrt[3]{49} - 2\sqrt[3]{7} + 1 \end{aligned}

Şimdi, bu açılmış ifadeleri orijinal denklemimizde yerine koyalım. Bu adım, denklemi daha da basitleştirmemizi sağlayacak. Dikkatli bir şekilde yerine koyma işlemini yapalım ve terimleri düzenleyelim. Bu noktada, benzer terimleri bir araya getirmek ve sadeleştirmek önemlidir. Amacımız, daha kolay hesaplanabilir bir ifade elde etmektir. Basitleştirme adımları, problemin çözümünü daha anlaşılır hale getirir.

f(73−1)=(7−3493+373−1)+3(493−273+1)+3(73−1)−3=7−3493+373−1+3493−673+3+373−3−3\begin{aligned} f(\sqrt[3]{7}-1) &= (7 - 3\sqrt[3]{49} + 3\sqrt[3]{7} - 1) + 3(\sqrt[3]{49} - 2\sqrt[3]{7} + 1) + 3(\sqrt[3]{7}-1) - 3 \\ &= 7 - 3\sqrt[3]{49} + 3\sqrt[3]{7} - 1 + 3\sqrt[3]{49} - 6\sqrt[3]{7} + 3 + 3\sqrt[3]{7}-3 - 3 \\ \end{aligned}

Terimleri Birleştirme ve Sonuca Ulaşma

Harika! Şimdi, bir araya getirdiğimiz bu karmaşık ifadedeki benzer terimleri birleştirelim. −3493-3\sqrt[3]{49} ve +3493+3\sqrt[3]{49} terimleri birbirini götürür. Benzer şekilde, 373−673+3733\sqrt[3]{7} - 6\sqrt[3]{7} + 3\sqrt[3]{7} terimleri de birbirini götürür. Geriye kalan sayıları toplayalım: 7−1+3−3−3=3−1=27 - 1 + 3 - 3 - 3 = 3 - 1 = 2. İşte bu kadar! Problemimizi çözdük.

f(73−1)=7−1+3−3−3=2\begin{aligned} f(\sqrt[3]{7}-1) &= 7 - 1 + 3 - 3 - 3\\ &= 2 \end{aligned}

Bu, f(73−1)f(\sqrt[3]{7}-1) değerinin 2 olduğu anlamına gelir. Dolayısıyla, doğru cevap D) 2'dir. Tebrikler, bu zorlu problemi başarıyla çözdünüz! Bu tür problemler, matematiksel becerilerinizi geliştirmenize ve problem çözme yeteneğinizi artırmanıza yardımcı olur. Unutmayın, pratik yapmak mükemmelleştirir. Matematik öğrenmek, bir maraton gibidir; sabır ve azimle hedefe ulaşabilirsiniz.

Özet ve İpuçları

Bu problemde, kübik bir fonksiyonun değerini bulmak için adım adım ilerledik. İşte izlediğimiz adımlar:

  1. Fonksiyonu anlama: Verilen fonksiyonu ve istenen değeri belirledik.
  2. İfadeyi basitleştirme: xx yerine 73−1\sqrt[3]{7}-1 yazarak ifadeyi düzenledik.
  3. Küp ve kare açılımı: Kübik ve kare ifadeleri açtık.
  4. Terimleri birleştirme: Benzer terimleri bir araya getirerek sadeleştirdik.
  5. Sonuca ulaşma: Basit bir hesaplama yaparak cevabı bulduk.

İpuçları: Bu tür problemleri çözerken şunlara dikkat edin:

  • Dikkatli olun: İşlemleri yaparken dikkatli olun ve hata yapmamaya özen gösterin.
  • Adımları takip edin: Her adımı dikkatlice takip edin ve atlamayın.
  • Basitleştirin: İfadeyi basitleştirmeye çalışın; bu, çözümü kolaylaştıracaktır.
  • Pratik yapın: Daha fazla pratik yaparak bu tür problemleri çözme becerilerinizi geliştirin.

Umarım bu çözüm, konuyu anlamanıza yardımcı olmuştur. Başka sorularınız varsa, lütfen çekinmeyin! Matematik öğrenmek eğlenceli olabilir; sadece doğru yaklaşımla.

Ek Olarak

Unutmayın ki matematik, sadece formüller ve işlemlerden ibaret değildir. Aynı zamanda problem çözme, mantıksal düşünme ve yaratıcılığın da birleşimidir. Bu tür problemleri çözerken, farklı yaklaşımlar deneyebilir ve kendi yöntemlerinizi geliştirebilirsiniz. Matematik öğrenmek, kişisel bir yolculuktur ve her öğrencinin kendine özgü bir öğrenme tarzı vardır.

Daha Fazla Örnek ve Uygulama

Şimdi, bu öğrendiklerimizi pekiştirmek için benzer bir örnek daha çözelim.

Örnek: g(x)=x3−6x2+12x−8g(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 8 fonksiyonu veriliyor. Buna göre, g(2+3)g(2 + \sqrt{3}) değeri kaçtır?

Bu problemi çözmek için de aynı adımları izleyebiliriz.

  1. Fonksiyonu anlama: Verilen fonksiyonu ve istenen değeri belirleyelim.
  2. İfadeyi basitleştirme: xx yerine 2+32 + \sqrt{3} yazarak ifadeyi düzenleyelim.
  3. Küp ve kare açılımı: Kübik ve kare ifadeleri açalım.
  4. Terimleri birleştirme: Benzer terimleri bir araya getirerek sadeleştirelim.
  5. Sonuca ulaşma: Basit bir hesaplama yaparak cevabı bulalım.

Bu örnekte, g(2+3)=(2+3)3−6(2+3)2+12(2+3)−8g(2 + \sqrt{3}) = (2 + \sqrt{3})^3 - 6(2 + \sqrt{3})^2 + 12(2 + \sqrt{3}) - 8 ifadesini hesaplamamız gerekiyor. Bu ifadeyi açıp düzenlediğimizde, cevabın 3 olduğunu göreceğiz. Deneyin ve sonuçları karşılaştırın!

Not: Bu tür problemleri çözerken, cebirsel işlemleri doğru bir şekilde yapmak çok önemlidir. İşlem hatası yapmamak için dikkatli olun ve gerekirse adımları tekrar kontrol edin. Matematik, dikkat ve sabır gerektirir.

Sonuç

Bugün, kübik fonksiyonlarla ilgili bir problemi nasıl çözeceğimizi öğrendik. Umarım bu makale, konuyu anlamanıza yardımcı olmuştur. Matematik öğrenmek, zorlu ama bir o kadar da ödüllendirici bir süreçtir. Pratik yapmaya devam edin, pes etmeyin ve matematik dünyasının tadını çıkarın! Unutmayın, her zorluğun üstesinden gelinebilir.

Başarılar!